把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖(1)擺放(點C與E重合),點B、C(E)、F在同一條直線上.已知:∠ACB...
問題詳情:
把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖(1)擺放(點C與E重合),點B、C(E)、F在同一條直線上.已知:∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=10cm.如圖(2),△DEF從圖(1)的位置出發,以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動,在△DEF移動的同時,點P從△ABC的頂點A出發,以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動;當點P移動到點B時,點P停止移動,△DEF也隨之停止移動.DE與AC交於點Q,連接PQ,設移動時間為t(s).
(1)用含t的代數式表示線段AP和AQ的長,並寫出t的取值範圍;
(2)連接PE,設四邊形APEQ的面積為y(cm2),試探究y的最大值;
(3)當t為何值時,△APQ是等腰三角形.
【回答】
【考點】相似三角形的判定與*質;二次函數的最值;等腰三角形的*質.
【專題】動點型.
【分析】(1)根據題意以及直角三角形*質表達出CQ、AQ,從而得出結論,
(2)作PG⊥x軸,將四邊形的面積表示為S△ABC﹣S△BPE﹣S△QCE即可求解,
(3)根據題意以及三角形相似對邊比例*質即可得出結論.
【解答】(1)解:AP=2t
∵∠EDF=90°,∠DEF=45°,
∴∠CQE=45°=∠DEF,
∴CQ=CE=t,
∴AQ=8﹣t,
t的取值範圍是:0≤t≤5;
(2)過點P作PG⊥x軸於G,可求得AB=10,SinB=,PB=10﹣2t,EB=6﹣t,
∴PG=PBSinB=(10﹣2t)
∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==
∴當(在0≤t≤5內),y有最大值,y最大值=(cm2)
(3)若AP=AQ,則有2t=8﹣t解得:(s)
若AP=PQ,如圖①:過點P作PH⊥AC,則AH=QH=,PH∥BC
∴△APH∽△ABC,
∴,
即,
解得:(s)
若AQ=PQ,如圖②:過點Q作QI⊥AB,則AI=PI=AP=t
∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A,
∴△AQI∽△ABC
∴即,
解得:(s)
綜上所述,當或或時,△APQ是等腰三角形.
知識點:相似三角形
題型:解答題