已知數列各項為正數，且對任意，都有.（1）若，，成等差數列，求的值；（2）①求*：數列為等比數列；②若對任意，...
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問題詳情：
已知數列
各項為正數，且對任意
，都有
.
（1）若
，
，
成等差數列，求
的值；
（2）①求*：數列
為等比數列；
②若對任意
，都有
，求數列
的公比
的取值範圍.
【回答】
【詳解】解：（1）因為
，所以
，因此
，
，
成等比數列.
設公比為
，因為
，
，
成等差數列，
所以
，即
，於是
，解得
或
，
所以
或
.
（2）①因為
，所以
，
兩式相除得
，即
，
由
，得
，
兩式相除得
，即
，
所以
，即
，
，
，
由（1）知
，所以
，
，
因此數列
為等比數列.
②當
時，
由
時，可得
，所以
，
因此
，
所以
滿足條件.
當
時，
由
，得
，
整理得
.
因為
，
，所以
，
因此
，即
，
由於
，因此
，與任意
恆成立相矛盾，
所以
不滿足條件.
綜上，公比
的取值範圍為
.
【點睛】本題主要考查等差數列的*質和等比數列的*，考查數列的求和數列不等式的恆成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.
知識點：數列
題型：解答題
