已知圓C過座標原點O，且與x軸，y軸分別交於點A，B，圓心座標為(t∈R，t≠0)．（1）求*：△AOB的面積...

問題詳情：

已知圓C過座標原點O，且與x軸，y軸分別交於點A，B，圓心座標為

(t∈R，t≠0)．

（1）求*：△AOB的面積為定值；

（2）直線2x＋y－4＝0與圓C交於點M，N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程；

（3）在（2）的條件下，設點P，Q分別是直線l：x＋y＋2＝0和圓C上的動點，求|PB|＋|PQ|的最小值及此時點P的座標．

【回答】

解：(1)*　由題意知，圓C的標準方程為(x－t)2＋2＝t2＋，

化簡得x2－2tx＋y2－y＝0.

當y＝0時，x＝0或x＝2t，則A(2t,0)；

當x＝0時，y＝0或y＝，則B.

∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·||＝4，為定值.

(2)∵|OM|＝|ON|，∴原點O在MN的中垂線上.

設MN的中點為H，則CH⊥MN，∴C，H，O三點共線，且直線OC的斜率與直線MN的斜率的乘積為－1，即直線OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2，

∴圓心為C(2,1)或C(－2，－1)，

∴圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5.

檢驗：當圓的方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝5時，圓心到直線2x＋y－4＝0的距離d＞r，此時直線與圓相離，故舍去.

故圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.

(3)易求得點B(0,2)關於直線x＋y＋2＝0的對稱點B′(－4，－2)，

則|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，

又∵B′到圓上點Q的最短距離為

|B′C|－r＝－＝3－＝2，

∴|PB|＋|PQ|的最小值為2，又直線B′C的方程為y＝x，聯立解得

故|PB|＋|PQ|取得最小值時點P的座標為，最小值為2.

知識點：圓與方程

題型：解答題