某商場從生產廠家以每件20元的進價購進一批商品，若該商品的售價定為p元，則銷售量Q(單位：件)與零售價p(單位...

問題詳情：

某商場從生產廠家以每件20元的進價購進一批商品，若該商品的售價定為p元，則銷售量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關係：Q＝8 300－170p－p2.問該商品零售價定為多少時利潤最大，最大利潤是多少？

【回答】

解：設利潤為L(p)，由題意可得

L(p)＝(p－20)·Q＝(p－20)(8 300－170p－p2)

＝－p3－150p2＋11 700p－166 000(p＞0)，

所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.

令L′(p)＝0，得p＝30或p＝－130(捨去)．

則L(30)＝23 000.

因為0＜p＜30時，L′(p)＞0；p＞30時，L′(p)＜0，

所以p＝30時，L(p)取得極大值．根據實際問題的意義知，L(30)就是最大值，即零售價定為每件30元時，利潤最大，最大利潤為23 000元．

知識點：導數及其應用

題型：解答題