如圖，在直三稜柱中，，，點為的中點，點為上一動點.（1）是否存在一點，使得線段平面？若存在，指出點的位置，若不...
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問題詳情：
如圖，在直三稜柱
中，
，
，點
為
的中點，點
為
上一動點.
（1）是否存在一點
，使得線段
平面
？若存在，指出點
的位置，若不存在，請説明理由.
（2）若點
為
的中點且
，求二面角
的正弦值.
【回答】
（1）存在點
，且
為
的中點.
*如下：
如圖，連接
，
，點
，
分別為
，
的中點，
所以
為
的一條中位線，
，
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）設
，則
，
，
，
由
，得
，解得
.
由題意以點
為座標原點，
為
軸，
為
軸，
為
軸建立如圖所示的空間直角座標系，可得
，
，
，
，
故
，
，
，
，.
設
為平面
的一個法向量，則
得
令
，得平面
的一個法向量
，
同理可得平面
的一個法向量為
，
故二面角
的餘弦值為
.
故二面角
的正弦值為
.
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
