(2019·四川中考模擬)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,點O在BC邊上,∠BAC的平分線交⊙O於點D,連接BD...
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問題詳情:
(2019·四川中考模擬)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,點O在BC邊上,∠BAC的平分線交⊙O於點D,連接BD、CD,過點D作BC的平行線與AC的延長線相交於點P.
(1)求*:PD是⊙O的切線;
(2)求*:△ABD∽△DCP;
(3)當AB=5cm,AC=12cm時,求線段PC的長.
【回答】
(1)*見解析;(2)*見解析;(3)CP=16.9cm.
【解析】
(1)如圖,連接OD,
∵BC是⊙O的直徑,
∴∠BAC=90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAD,
∵∠BOD=2∠BAD,
∴∠BOD=∠BAC=90°,
∵DP∥BC,
∴∠ODP=∠BOD=90°,
∴PD⊥OD,
∵OD是⊙O半徑,
∴PD是⊙O的切線;
(2)∵PD∥BC,
∴∠ACB=∠P,
∵∠ACB=∠ADB,
∴∠ADB=∠P,
∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠DCP=180°,
∴∠DCP=∠ABD,
∴△ABD∽△DCP;
(3)∵BC是⊙O的直徑,
∴∠BDC=∠BAC=90°,
在Rt△ABC中,BC==13cm,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠BOD=∠COD,
∴BD=CD,
在Rt△BCD中,BD2+CD2=BC2,
∴BD=CD=BC=,
∵△ABD∽△DCP,
∴,
∴,
∴CP=16.9cm.
【點睛】本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與*質等,熟練掌握切線的判定方法、相似三角形的判定與*質定理是解題的關鍵.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題