閲讀下列材料:已知:如圖1,等邊△A1A2A3內接於⊙O,點P是上的任意一點,連接PA1,PA2,PA3,可*...
問題詳情:
閲讀下列材料:
已知:如圖1,等邊△A1A2A3內接於⊙O,點P是上的任意一點,連接PA1,PA2,PA3,可*:PA1+PA2=PA3,從而得到:是定值.
(1)以下是小紅的一種*方法,請在方框內將*過程補充完整;
*:如圖1,作∠PA1M=60°,A1M交A2P的延長線於點M.
∵△A1A2A3是等邊三角形,
∴∠A3A1A2=60°,
∴∠A3A1P=∠A2A1M
又A3A1=A2A1,∠A1A3P=∠A1A2P,
∴△A1A3P≌△A1A2M
∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1.
∴,是定值.
(2)延伸:如圖2,把(1)中條件“等邊△A1A2A3”改為“正方形A1A2A3A4”,其餘條件不變,請問:還是定值嗎?為什麼?
(3)拓展:如圖3,把(1)中條件“等邊△A1A2A3”改為“正五邊形A1A2A3A4A5”,其餘條件不變,則= (只寫出結果).
【回答】
(1)*見解析;(2)是定值,理由見解析;(3)
【解析】
分析:(2)結論:是定值.在A4P上截取AH=A2P,連接HA1.*PA4=A4+PH=PA2+PA1,同法可*:PA3=PA1+PA2,推出(+1)(PA1+PA2)=PA3+PA4,可得PA1+PA2=(-1)(PA3+PA4),即可解決問題;
(3)結論:則.如圖3-1中,延長PA1到H,使得A1H=PA2,連接A4H,A4A2,A4A1.由△HA4A1≌△PA4A2,可得△A4HP是頂角為36°的等腰三角形,推出PH=PA4,即PA1+PA2=PA4,如圖3-2中,延長PA5到H,使得A5H=PA3.同法可*:△A4HP是頂角為108°的等腰三角形,推出PH=PA4,即PA5+PA3=PA4,即可解決問題;
詳解:(1)如圖1,作∠PA1M=60°,A1M交A2P的延長線於點M.
∵△A1A2A3是等邊三角形,
∴∠A3A1A2=60°,
∴∠A3A1P=∠A2A1M
又A3A1=A2A1,∠A1A3P=∠A1A2P,
∴△A1A3P≌△A1A2M
∴PA3=MA2,
∵PM=PA1,
∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1.
∴,是定值.
(2)結論:是定值.
理由:在A4P上截取AH=A2P,連接HA1.
∵四邊形A1A2A3A4是正方形,
∴A4A1=A2A1,
∵∠A1A4H=∠A1A2P,A4H=A2P,
∴△A1A4H=△A1A2P,
∴A1H=PA1,∠A4A1H=∠A2A1P,
∴∠HA1P=∠A4A1A2=90°
∴△HA1P的等腰直角三角形,
∴PA4=HA4+PH=PA2+PA1,
同法可*:PA3=PA1+PA2,
∴(+1)(PA1+PA2)=PA3+PA4,
∴PA1+PA2=(-1)(PA3+PA4),
∴.
(3)結論:則.
理由:如圖3-1中,延長PA1到H,使得A1H=PA2,連接A4H,A4A2,A4A1.
由△HA4A1≌△PA4A2,可得△A4HP是頂角為36°的等腰三角形,
∴PH=PA4,即PA1+PA2=PA4,
如圖3-2中,延長PA5到H,使得A5H=PA3.
同法可*:△A4HP是頂角為108°的等腰三角形,
∴PH=PA4,即PA5+PA3=PA4,
∴.
點睛:本題考查圓綜合題、正方形的*質、正五邊形的*質、全等三角形的判定和*質等正整數,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造全等三角形解決問題,屬於中考壓軸題.
知識點:正多邊形和圓
題型:解答題