如圖,在平面直角座標系中A(,0),B(0,1),點P為△OAB內任一點,連接PO、PA、PB,將△ABP繞着...

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問題詳情：

如圖,在平面直角座標系中A(,0),B(0,1),點P為△OAB內任一點,連接PO、PA、PB,將△ABP繞着點A順時針旋轉60°得到△AB′P′,連接PP′. (Ⅰ)求點B′的座標; (Ⅱ)當△OPA與△APB滿足什麼條件時,PO＋PA＋PB的值最小,並求出此最小值; (Ⅲ)試直接寫出(Ⅱ)中的點P座標.

【回答】

解:(Ⅰ)∵A(,0),B(0,1), ∴AB=2,∠BAO=30°, ∵將△ABP繞着點A順時針旋轉60°得到△AB′P′, ∴AB′=2,∠B′AO=90°, ∴B′(,2); (Ⅱ)由旋轉可得,△APP′是等邊三角形, ∴PP′=PA, 又∵P′B′=PB,∴PO＋PA＋PB=PO＋PP′＋P′B′, ∴如解圖①,當O、P、P′、B′四點共線時,PO＋PA＋PB的值最小, ∴當∠OPA=∠APB=∠AP′B′=120°時,PO＋PA＋PB的值最小, 此時,PO＋PA＋PB=OB′==; (Ⅲ)如解圖②,將(Ⅱ)中的△OPB繞着點O逆時針旋轉60°得到△OB″P″,則∠BOB″=60°,OB″=OB=1 ∴點B″的座標為(－,), 由(Ⅱ)可知A、P、P″、B″四點共線, ∴點P為OB′與AB″的交點, 根據A、B″兩點的座標可得直線AB″的解析式為y=－x＋, 根據B′的座標可得直線OB′的解析式為y=x, 聯立方程組,解得P(,).