如圖（1），已知圓O是等邊△ABC的外接圓，過O點作MN//BC分別交AB、AC於M、N，且MN=a。另一個與...
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問題詳情：
如圖（1），已知圓O是等邊△ABC的外接圓，過O點作MN//BC分別交AB、AC於M、N，且MN=a。另一個與△ABC全等的等邊△DEF的頂點D在MN上移動（不與點M、N重合），並始終保持EF//BC，DF交AB於點P，DE交AC於點Q。
（1）試判斷四邊形APDQ的形狀，並進行*；
（2）設DM為x，四邊形APDQ的面積為y，試探究y與x的函數關係式；四邊形APDQ的面積能取到最大值嗎？如果能，請求出它的最大值，並確定此時D點的位置。
（3）如圖（2），當D點和圓心O重合時，請判斷四邊形APDQ的形狀，並説明理由；你能發現四邊形APDQ的面積與△ABC的面積有何關係嗎？為什麼？
【回答】
（1）可知四邊形APDQ為平行四邊形
*：由題知△ABC≌△DEF 且△ABC
△DEF為等邊三角形
∴∠BAC=∠EDF=60°
又∵EF//BC，MN//BC
∴EF//BC//MN
∴∠MDF=∠DFE=60°，∠FED=∠EDN=60°
∠MNA=∠BCA=60°，∠QDN=∠QND=60°
∴△DQN為等邊三角形
∴∠DQN=∠PDQ=60°，∴PD//AQ
∴∠BAC=∠DQN=60°，∴AP//DQ
∴四邊形APDQ為平行四邊形
（2）
∴當x取
時，即D點位於MN的中點位置時，四邊形APDQ的面積最大，且最大值為
（3）當D點和圓心O重合時，四邊形APDQ為菱形
理由：由（1）、（2）可知，△MPO，△QON為等邊三角形，且MO=ON
所以△MPQ≌△QON
因此OP=OQ，又因為四邊形APDQ為平行四邊形。
所以可知四邊形APDQ為菱形
由題可知，
，而由（2）知
知識點：二次函數的圖象和*質
題型：綜合題
