如圖,在正方形ABCD中,連接AC,以點A為圓心,適當長為半徑畫弧,交AB、AC於點M,N,分別以M,N為圓心...
問題詳情:
如圖,在正方形ABCD中,連接AC,以點A為圓心,適當長為半徑畫弧,交AB、AC於點M,N,分別以M,N為圓心,大於MN長的一半為半徑畫弧,兩弧交於點H,連結AH並延長交BC於點E,再分別以A、E為圓心,以大於AE長的一半為半徑畫弧,兩弧交於點P,Q,作直線PQ,分別交CD,AC,AB於點F,G,L,交CB的延長線於點K,連接GE,下列結論:①∠LKB=22.5°,②GE∥AB,③tan∠CGF=,④S△CGE:S△CAB=1:4.其中正確的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
【回答】
A
【解析】
①在△AOL和△BLK中,根據三角形內角和定理,如圖兩個角對應相等,則第三個角∠LKB=∠BAC=22.5°;
②根據線段中垂線定理*∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE,可得EG∥AB;
③根據等量代換可得:∠CGF=∠BLK,可作判斷;
④連接EL,*四邊形ALEG是菱形,根據EL>BL,及相似三角形的*質可作判斷.
【詳解】
①∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠BAD=45°,
由作圖可知:AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE=22.5°,
∵PQ是AE的中垂線,
∴AE⊥PQ,
∴∠AOL=90°,
∵∠AOL=∠LBK=90°,∠ALO=∠KLB,
∴∠LKB=∠BAE=22.5°;
故①正確;
②∵OG是AE的中垂線,
∴AG=EG,
∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE,
∴EG∥AB,
故②正確;
③∵∠LAO=∠GAO,∠AOL=∠AOG=90°,
∴∠ALO=∠AGO,
∵∠CGF=∠AGO,∠BLK=∠ALO,
∴∠CGF=∠BLK,
在Rt△BKL中,tan∠CGF=tan∠BLK=,
故③正確;
④連接EL,
∵AL=AG=EG,EG∥AB,
∴四邊形ALEG是菱形,
∴AL=EL=EG>BL,
∴,
∵EG∥AB,
∴△CEG∽△CBA,
∴,
故④不正確;
本題正確的是:①②③,
故選A.
【點睛】
本題考查了基本作圖:角平分線和線段的垂直平分線,三角形相似的*質和判定,菱形的*質和判定,三角函數,正方形的*質,熟練掌握基本作圖是關鍵,在正方形中由於*質比較多,要熟記各個*質並能運用;是中考常考的選擇題的壓軸題.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:選擇題