已知，M是等邊△ABC邊BC上的點，如圖，連接AM，過點M作∠AMH=60°，MH與∠ACB的鄰補角的平分線交...

問題詳情：

已知，M是等邊△ABC邊BC上的點，如圖，連接AM，過點M作∠AMH=60°，MH與∠ACB的鄰補角的平分線交於點H，過H作HD⊥BC於點D

（1）求*：MA=MH

（2）猜想寫出CB、CM、CD之間的數量關係式，並加以*．

【回答】

（1）見解析；（2）CB=CM+2CD.

【解析】

分析：（1）過M點作MN∥AC交AB於N，然後根據全等三角形的判定“ASA”*△AMN≌△MHC，再根據全等三角形的*質可得MA=MH；

（2）過M點作MG⊥AB於G，再根據全等三角形的判定“AAS”*△BMG≌△CHD可得CD=BG，因為BM=2CD可得BC=MC+2CD．

詳解：（1）如圖，過M點作MN∥AC交AB於N，

則BM=BN，∠ANM=120°，

∵AB=BC，

∴AN=MC，

∵CH是∠ACD的平分線，

∴∠ACH=60°=∠HCD，

∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，

又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°，

∴∠HMC+∠AMN=60°

又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，

∴∠HMC=∠MAN，

在△ANM和△MCH中，

，

∴△AMN≌△MHC（ASA），

∴MA=MH；

（2）CB=CM+2CD；

*：如圖，過M作MG⊥AB於G，

∵HD⊥BC，

∴∠HDC=∠MGB=90°，

∵△AMN≌△MHC，

∴MN=HC，

∵MN=MB，

∴HC=BM，

在△BMG和△CHD中，

，

∴△BMG≌△CHD（AAS），

∴CD=BG，

∵△BMN為等邊三角形，

∴BM=2BG，

∴BM=2CD，

∴BC=MC+2CD．

點睛：此題主要考查了等邊三角形的*質以及全等三角形的判定與*質的綜合應用，關鍵是正確作出輔助線構造全等三角形和等邊三角形，解題時注意：等邊三角形的三個內角都相等，且都等於60°．

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題