如圖1,AD、BD分別是△ABC的內角∠BAC、∠ABC的平分線,過點A作AE上AD,交BD的延長線於點E(1...
問題詳情:
如圖1,AD、BD分別是△ABC的內角∠BAC、∠ABC的平分線,過點A作AE上AD,交BD的延長線於點E
(1)求*:∠E=∠C;
(2)如圖2,如果AE=AB,且BD:DE=2:3,求cos∠ABC的值;
(3)如果∠ABC是鋭角,且△ABC與△ADE相似,求∠ABC的度數,並直接寫出的值.
【回答】
(1)見解析;(2)cos∠ABC的值為2∶3;(3)∠ABC=30°或∠ABC=45°,的值或
【解析】
(1)由AE⊥AD,得到∠DAE=90°,∠E=90°-∠ADE,再由AD平分∠BAC,得到∠ABD∠BAC,即可解答
(2)延長AD交BC於點F,得出,再利用三角函數即可即可
(3)根據題意得出∠ABC=∠E=∠C,繼而可得∠ABC=30°,,∠ABC=45°,,即可解答
【詳解】
*:∵AE⊥AD,
∴∠DAE=90°,∠E=90°-∠ADE.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD∠BAC,同理∠ABD∠BAC
又∵∠ADE=∠BAD+∠ABD,∠BAC+∠ABC=180°-∠C,
∴∠ADE(∠BAC+∠BAC)(180°-∠C).
∴∠E=90°-(180°-∠C)∠C
解:延長AD交BC於點F.
∵AE=AB,∴∠ABE=∠E.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠E.
∴AE∥ BC.
∴∠AFB=∠FAE=90°,
又∵BD∶DE=2∶3
∴cos∠ABC=
∴cos∠ABC的值為2∶3.
(3)解:△ABC與△ADE相似,且∠DAE=90°,
∴△ABC中必有一個內角等於90°.
∵ABC是鋭角,
∴∠ABC≠90°.
若∠BAC=∠DAE=90°,
∵∠E=∠C,∴∠ABC=∠E=∠C
∵∠ABC+∠C=90°,∴∠ABC=30°.這時
綜上所述,∠ABC=30°或∠ABC=45°,的值或
【點睛】
此題考查角平分線的*質,三角函數,相似三角形的*質,解題關鍵在於作輔助線
知識點:角的平分線的*質
題型:解答題