設是首項為,公差為d的等差數列,是首項為,公比為q的等比數列.(1)設,若對均成立,求d的取值範圍;(2)若,...
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問題詳情:
設是首項為,公差為d的等差數列,是首項為,公比為q的等比數列.
(1)設,若對均成立,求d的取值範圍;
(2)若,*:存在,使得對均成立,並求的取值範圍(用表示).
【回答】
(1)d的取值範圍為.
(2)d的取值範圍為,*見解析.
【解析】
分析:(1)根據題意結合並分別令n=1,2,3,4列出不等式組,即可解得公差d的取值範圍;(2)先根據絕對值定義將不等式轉化為,根據條件易得左邊不等式恆成立,再利用數列單調*確定右邊單調遞增,轉化為最小值問題,即得公差d的取值範圍.
詳解:解:(1)由條件知:.
因為對n=1,2,3,4均成立,
即對n=1,2,3,4均成立,
即11,1d3,32d5,73d9,得.
因此,d的取值範圍為.
(2)由條件知:.
若存在d,使得(n=2,3,···,m+1)成立,
即,
即當時,d滿足.
因為,則,
從而,,對均成立.
因此,取d=0時,對均成立.
下面討論數列的最大值和數列的最小值().
①當時,,
當時,有,從而.
因此,當時,數列單調遞增,
故數列的最大值為.
②設,當x>0時,,
所以單調遞減,從而<f(0)=1.
當時,,
因此,當時,數列單調遞減,
故數列的最小值為.
因此,d的取值範圍為.
點睛:對於求不等式成立時的參數範圍問題,一般有三個方法,一是分離參數法, 使不等式一端是含有參數的式子,另一端是一個區間上具體的函數,通過對具體函數的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法,根據參數取值情況分類討論,三是數形結合法,將不等式轉化為兩個函數,通過兩個函數圖像確定條件.
知識點:數列
題型:解答題