在中，，交BA的延長線於點G．特例感知：（1）將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，...

問題詳情：

在中，，交BA的延長線於點G．

特例感知：

（1）將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經過點B．通過觀察、測量BF與CG的長度，得到．請給予*．

猜想論*：

（2）當三角尺沿AC方向移動到圖2所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC於點D，過點D作垂足為E．此時請你通過觀察、測量DE，DF與CG的長度，猜想並寫出DE、DF與CG之間存在的數量關係，並*你的猜想．

聯繫拓展：

（3）當三角尺在圖2的基礎上沿AC方向繼續移動到圖3所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，請你判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用*）

【回答】

（1）*見詳解；（2）DE+DF=CG，*見詳解；（3）成立．

【解析】

（1）通過條件*△BFC≌△CGB，即可得到；

（2）過點B作BM⊥CF交CF延長線於M，過點D作DH⊥BM於H，通過△BMC≌△CGB，得到BM=CG，然後由四邊形MHDF為矩形，MH=DF，最後再*△BDH≌△DBE，得到BH=DE，即可得到結論；

（3）同（2）中的方法．

【詳解】

（1）∵，

∴∠ABC=∠ACB，

在△BFC和△CGB中，

∴△BFC≌△CGB，

∴

（2）DE+DF=CG，

如圖，過點B作BM⊥CF交CF延長線於M，過點D作DH⊥BM於H，

∵，

∴∠ABC=∠ACB，

在△BMC和△CGB中，

∴△BMC≌△CGB，

∴BM=CG，

由題意和輔助線可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，

∴四邊形MHDF為矩形，

∴MH=DF，DH∥MF，

∴∠HDB=∠MCB，

∴∠HDB=∠ABC，

在△BDH和△DBE中，

∴△BDH≌△DBE，

∴BH=DE，

∵BM=CG，BM=BH+HM，

∴DE+DF=CG，

（3）成立，

如圖，過點B作BM⊥CF交CF延長線於M，過點D作DH⊥BM於H，

同（2）中的方法

∵，

∴∠ABC=∠ACB，

在△BMC和△CGB中，

∴△BMC≌△CGB，

∴BM=CG，

由題意和輔助線可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，

∴四邊形MHDF為矩形，

∴MH=DF，DH∥MF，

∴∠HDB=∠MCB，

∴∠HDB=∠ABC，

在△BDH和△DBE中，

∴△BDH≌△DBE，

∴BH=DE，

∵BM=CG，BM=BH+HM，

∴DE+DF=CG．

【點睛】

本題考查了全等三角形的*質和判定，屬於幾何動態問題，能夠正確的構造輔助線找到全等三角形是解題的關鍵．

知識點：三角形全等的判定

題型：綜合題