如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點.（Ⅰ）求*：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2...

問題詳情：

如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點.

（Ⅰ）求*：平面PAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C-PB-A的餘弦值.

【回答】

 *：（Ⅰ）由AB是圓的直徑，得，

               由平面ABC，平面ABC，得．

               又，平面PAC，平面PAC，

               所以平面PAC．

               因為平面PBC，

               所以平面PAC⊥平面PBC……………………………………………6分

（Ⅱ）解法一：過C作CM//AP，則CM⊥平面ABC．

             如圖（1），以點C為座標原點，分別

以直線CB，CA，CM為x軸，y軸，z

軸建立空間直角座標系．

所以． 又因為PA=1，所以A（0，1， 0），B（，0，0），P（0，1，1）．

故．

設平面BCP的法向量為，

則所以

不妨令，則．

因為

設平面ABP的法向量為，

則所以

不妨令，則．

於是．

由圖（1）知二面角C-PB-A為鋭角， 故二面角C-PB-A的餘弦值為…………………………12分

      （Ⅱ）解法二：如圖（2），過C作CM⊥AB於M，

                    因為PA⊥平面ABC，平面ABC，

                    所以PA⊥CM．

                    又因為，且平面PAB，平面PAB，

                    所以CM⊥平面PAB．

                    過M作MN⊥PB於N，連接NC，

                    由三垂線定理得CN⊥PB，

                    所以∠CNM為二面角C-PB-A的平面角．

在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，

在Rt△PAB中，由AB=2，PA=1，得．

因為Rt△BNM∽Rt△BAP，

所以，所以

所以在Rt△CNM中，，

所以，

所以故二面角C-PB-A的餘弦值為…………………………12分

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題