已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,長軸長是短軸長的2倍且經過點M(2,1),平行於OM的直線l在y軸上的截距...
問題詳情:
已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,長軸長是短軸長的2倍且經過點M(2,1),平行於OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),l交橢圓於A、B兩個不同點.
(1)求橢圓的標準方程以及m的取值範圍;
(2)求*直線MA,MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.
【回答】
【考點】K4:橢圓的簡單*質.
【分析】(1)根據題意,將M點代入即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程,求得直線l的方程,代入橢圓方程,由△>0即可求得m的取值範圍;
(2)設直線MA、MB的斜率分別為k1,k2,只需*k1+k2=0即可,根據直線的斜率公式及韋達定理即可求得*.
【解答】解:(1)設橢圓方程為(a>b>0),且a=2b,
橢圓經過點M(2,1),則,解得:a=2,b=,
∴橢圓方程;…
∵直線l平行於OM,且在y軸上的截距為m 又kOM=,
∴l的方程為:y=x+m,
由,整理得:x2+2mx+2m2﹣4=0,…
∵直線l與橢圓交於A、B兩個不同點,△=(2m)2﹣4(2m2﹣4)>0,解得:﹣2<m<0或0<m<2,
∴m的取值範圍是(﹣2,0)∪(0,2);…
(2)*:設直線MA、MB的斜率分別為k1,k2,
要*直線MA,MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.只需*k1+k2=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),l的方程為:y=x+m,則k1=,k2=.
由,整理得:x2+2mx+2m2﹣4=0
∴x1+x2=﹣2m,x1x2=2m2﹣4,
而k1+k2=+=,
其分子=(x1+m﹣1)(x2﹣2)+(x2+m﹣1)(x1﹣2)
=x1x2+(m﹣2)(x1+x2)﹣4(m﹣1)=2m2﹣4﹣2m(m﹣2)﹣4m+4=0,
∴k1+k2=0.
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題