設函數f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)討論f(x)在其定義域上的單調*;(2)...

問題詳情：

設函數f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.

(1)討論f(x)在其定義域上的單調*;

(2)當x∈[0,1]時,求f(x)取得最大值和最小值時的x的值.

【回答】

解:(1)f(x)的定義域為(-∞,+∞),

f′(x)=1+a-2x-3x2.

令f′(x)=0,得x1=,x2=,

x1<x2.

所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2).

當x<x1或x>x2時,f′(x)<0;

當x1<x<x2時,f′(x)>0.

故f(x)在(-∞,)和(,+∞)內單調遞減,在(,)內單調遞增.

(2)因為a>0,所以x1<0,x2>0.

①當a≥4時,x2≥1.

由(1)知,f(x)在[0,1]上單調遞增.

所以f(x)在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值.

②當0<a<4時,x2<1.

由(1)知,f(x)在[0,x2]上單調遞增,在[x2,1]上單調遞減.

所以f(x)在x=x2=處取得最大值.

又f(0)=1,f(1)=a,所以

當0<a<1時,f(x)在x=1處取得最小值;

當a=1時,f(x)在x=0處和x=1處同時取得最小值;

當1<a<4時,f(x)在x=0處取得最小值.

知識點：導數及其應用

題型：解答題