如圖，點O是邊長為4的等邊△ABC的內心，將△OBC繞點O逆時針旋轉30°得到△OB1C1，B1C1交BC於點...
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問題詳情：
如圖，點O是邊長為4
的等邊△ABC的內心，將△OBC繞點O逆時針旋轉30°得到△OB1C1，B1C1交BC於點D，B1C1交AC於點E，則DE= ．
【回答】
6﹣2
．.分析： 令OB1與BC的交點為F，B1C1與AC的交點為M，過點F作FN⊥OB於點N，根據等邊三角形的*質以及內心的*質找出△FOB為等腰三角形，並且△BFO∽△B1FD，根據相似三角形的*質找出B1D的長度，再通過找全等三角形以及解直角三角形求出C1E的長度，由此即可得出DE的長度．
解：令OB1與BC的交點為F，B1C1與AC的交點為M，過點F作FN⊥OB於點N，如圖所示．
∵將△OBC繞點O逆時針旋轉30°得到△OB1C1，
∴∠BOF=30°，
∵點O是邊長為4
的等邊△ABC的內心，
∴∠OBF=30°，OB=
AB=4，
∴△FOB為等腰三角形，BN=
OB=2，
∴BF=
=
=OF．
∵∠OBF=∠OB1D，∠BFO=∠B1FD，
∴△BFO∽△B1FD，
∴
．
∵B1F=OB1﹣OF=4﹣
，
∴B1D=4
﹣4．
在△BFO和△CMO中，有
，
∴△BFO≌△CMO（ASA），
∴OM=BF=
，C1M=4﹣
，
在△C1ME中，∠C1ME=∠MOC+∠MCO=60°，∠C1=30°，
∴∠C1EM=90°，
∴C1E=C1M•sin∠C1ME=（4﹣
）×
=2
﹣2．
∴DE=B1C1﹣B1D﹣C1E=4
﹣（4
﹣4）﹣（2
﹣2）=6﹣2
．
故*為：
知識點：相似三角形
題型：填空題
