如圖,正方形ADMN與矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=6.(Ⅰ)若點E是AB的中點,求*:BM∥平...
問題詳情:
如圖,正方形ADMN與矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=6.
(Ⅰ)若點E是AB的中點,求*:BM∥平面NDE;
(Ⅱ)在線段AB上找一點E,使二面角D﹣CE﹣M的大小為時,求出AE的長.
【回答】
【考點】MT:二面角的平面角及求法;LS:直線與平面平行的判定.
【分析】(I)如圖所示,連接AM交ND於點F,連接EF.利用正方形的*質可得AF=FM,利用三角形的中位線定理可得:EF∥BM.利用線面平行的判定定理可得:BM∥平面NDE.
(II)由DM⊥AD,利用面面垂直的*質定理可得:DM⊥平面ABCD,DM⊥DC.以DA,DC,DM所在直線分別作為x軸,y軸,z軸建立空間直角座標系.設E(3,b,0),設平面MCE的法向量為=(x,y,z),則,解得.取平面ABCD的法向量=(0,0,1).根據二面角D﹣CE﹣M的大小為時,可得=,解出b即可.
【解答】(I)*:如圖所示,連接AM交ND於點F,連接EF.
∵四邊形ADMN是正方形,∴AF=FM,
又AE=EB,∴EF∥BM.
∵BM⊄平面NDE,EF⊂平面NDE,
∴BM∥平面NDE.
(II)解:由DM⊥AD,平面ADMN⊥平面ABCD,平面ADMN∩平面ABCD=AD,
∴DM⊥平面ABCD,∴DM⊥DC,又AD⊥DC.
以DA,DC,DM所在直線分別作為x軸,y軸,z軸建立空間直角座標系.
設E(3,b,0),D(0,0,0),C(0,6,0),M(0,0,3).
=(3,b﹣6,0),=(0,﹣6,3).
設平面MCE的法向量為=(x,y,z),則,
取y=1,則z=2,x=.
∴=.
取平面ABCD的法向量=(0,0,1).
∵二面角D﹣CE﹣M的大小為時,∴ ==,
解得b=(0≤b≤6).
∴二面角D﹣CE﹣M的大小為時,AE=.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題