）如圖1，圖形ABCD是由兩個二次函數y1=kx2+m（k＜0）與y2=ax2+b（a＞0）的部分圖象圍成的封...
問題詳情：
）如圖1，圖形ABCD是由兩個二次函數y1=kx2+m（k＜0）與y2=ax2+b（a＞0）的部分圖象圍成的封閉圖形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．
（1）直接寫出這兩個二次函數的表達式；
（2）判斷圖形ABCD是否存在內接正方形（正方形的四個頂點在圖形ABCD上），並説明理由；
（3）如圖2，連接BC，CD，AD，在座標平面內，求使得△BDC與△ADE相似（其中點C與點E是對應頂點）的點E的座標
【回答】
【分析】（1）利用待定係數法即可得出結論；
（2）先確定出MM'=（1﹣m2）﹣（3m2﹣3）=4﹣4m2，進而建立方程2m=4﹣4m2，即可得出結論；
（3）先利用勾股定理求出AD=
，同理：CD=
，BC=
，再分兩種情況：
①如圖1，當△DBC∽△DAE時，得出
，進而求出DE=
，即可得出E（0，﹣
），
再判斷出△DEF∽△DAO，得出
，求出DF=
，EF=
，再用面積法求出E'M=
，即可得出結論；
②如圖2，當△DBC∽△ADE時，得出
，求出AE=
，
當E在直線AD左側時，先利用勾股定理求出PA=
，PO=
，進而得出PE=
，再判斷出
即可得出點E座標，當E'在直線DA右側時，即可得出結論．
【解答】解：（1）∵點A（1，0），B（0，1）在二次函數y1=kx2+m（k＜0）的圖象上，
∴
，
∴
，
∴二次函數解析式為y1=﹣x2+1，
∵點A（1，0），D（0，﹣3）在二次函數y2=ax2+b（a＞0）的圖象上，
∴
，
∴
，
∴二次函數y2=3x2﹣3；
（2）設M（m，﹣m2+1）為第一象限內的圖形ABCD上一點，M'（m，3m2﹣3）為第四象限的圖形上一點，
∴MM'=（1﹣m2）﹣（3m2﹣3）=4﹣4m2，
由拋物線的對稱*知，若有內接正方形，
∴2m=4﹣4m2，
∴m=
或m=
（舍），
∵0＜
＜1，
∴存在內接正方形，此時其邊長為
；
（3）在Rt△AOD中，OA=1，OD=3，
∴AD=
=
，
同理：CD=
，
在Rt△BOC中，OB=OC=1，
∴BC=
=
，
①如圖1，當△DBC∽△DAE時，
∵∠CDB=∠ADO，
∴在y軸上存在E，由
，
∴
，
∴DE=
，
∵D（0，﹣3），
∴E（0，﹣
），
由對稱*知，在直線DA右側還存在一點E'使得△DBC∽△DAE'，
連接EE'交DA於F點，作E'M⊥OD於M，連接E'D，
∵E，E'關於DA對稱，
∴DF垂直平分線EE'，
∴△DEF∽△DAO，
∴
，
∴
，
∴DF=
，EF=
，
∵S△DEE'=
DE•E'M=EF×DF=
，
∴E'M=
，
∵DE'=DE=
，
在Rt△DE'M中，DM=
=2，
∴OM=1，
∴E'（
，﹣1），
②如圖2，
當△DBC∽△ADE時，有∠BDC=∠DAE，
，
∴
，
∴AE=
，
當E在直線AD左側時，設AE交y軸於P，作EQ⊥AC於Q，
∵∠BDC=∠DAE=∠ODA，
∴PD=PA，
設PD=n，
∴PO=3﹣n，PA=n，
在Rt△AOP中，PA2=OA2+OP2，
∴n2=（3﹣n）2+1，
∴n=
，
∴PA=
，PO=
，
∵AE=
，
∴PE=
，
在AEQ中，OP∥EQ，
∴
，
∴OQ=
，
∵
，
∴QE=2，
∴E（﹣
，﹣2），
當E'在直線DA右側時，
根據勾股定理得，AE=
=
，
∴AE'=
∵∠DAE'=∠BDC，∠BDC=∠BDA，
∴∠BDA=∠DAE'，
∴AE'∥OD，
∴E'（1，﹣
），
綜上，使得△BDC與△ADE相似（其中點C與E是對應頂點）的點E的座標有4個，
即：（0，﹣
）或（
，﹣1）或（1，﹣
）或（﹣
，﹣2）．
【點評】此題是二次函數綜合題，主要考查了待定係數法，勾股定理，相似三角形的判定和*質，對稱*，正確作出輔助線和用分類討論的思想是解本題的關鍵．
知識點：各地中考
題型：解答題
