在平面直角座標系xOy中，已知A（0，2），動點P在y=x的圖象上運動（不與O重合），連接AP．過點P作PQ⊥...

來源：國語幫 1.07W

問題詳情：

在平面直角座標系xOy中，已知A（0，2），動點P在y=x的圖象上運動（不與O重合），連接AP．過點P作PQ⊥AP，交x軸於點Q，連接AQ．（1）求線段AP長度的取值範圍；（2）試問：點P運動的過程中，∠QAP是否為定值？如果是，求出該值；如果不是，請説明理由．（3）當△OPQ為等腰三角形時，求點Q的座標．

【回答】

解：（1）由y=x知：∠POQ=30°，當AP⊥OP時，AP取得最小值=OA•sin∠AOP=2sin60°=；（2）過點P作PH⊥x軸於點H、交過點A平行於x軸的直線與點G， ∴∠APQ=90°，∴∠AGP+∠APG=90°，∠APG+∠QPH=90°， ∴∠QPH=∠PAG，∴△PAG∽△QPH， ∴tan∠PAQ====，則∠QAP=30°；（3）設：OQ=m，則AQ2=m2+4=4PQ2， ①當OQ=PQ時，即PQ=OQ=m，則m2+4=4m2，解得：m=； ②當PO=OQ時，同理可得：m=±（4+4）； ③當PQ=OP時，同理可得：m=；故點Q的座標為（，0）或（-，0）或（4+4，0）或（-4-4，0）或（2，0）或（-2，0）．【解析】

（1）由y=x知：∠POQ=30°，當AP⊥OP時，AP取得最小值，即可求解；（2）利用△PAG∽△QPH得：tan∠PAQ====，即可求解；（3）分OQ=PQ、PO=OQ、PQ=OP三種情況，分別求解即可．本題為一次函數綜合題，涉及到三角形相似、等腰三角形*質，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．