設函數f（x）=（x﹣a）lnx+b．（Ⅰ）當a=0時，討論函數f（x）在[，+∞）上的零點個數；（Ⅱ）當a＞...
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問題詳情：
設函數f（x）=（x﹣a）lnx+b．
（Ⅰ）當a=0時，討論函數f（x）在[
，+∞）上的零點個數；
（Ⅱ）當a＞1且函數f（x）在（1，e）上有極小值時，求實數a的取值範圍．
【回答】
解：（1）f'（x）=ex（ax2+x+1）+ex（2ax+1）=
，
當
時，
，f（x）在R上單調遞增；
當
時，f'（x）＞0，解得x＞﹣2或
；f'（x）＜0，解得
，
故函數f（x）在
和（﹣2，+∞）上單調遞增，在
上單調遞減．
當
時，f'（x）＞0，解得
或x＜﹣2；f'（x）＜0，解得
，
故函數f（x）在（﹣∞，﹣2）和
上單調遞增，在
上單調遞減．
所以當
時，f（x）的單調遞增區間是（﹣∞，+∞）；
當
時，f（x）的單調遞增區間是
和（﹣2，+∞），單調遞減區間是
；
當
時，f（x）的單調遞增區間是（﹣∞，﹣2）和
，單調遞減區間是
．
（2）*：∵x=1時，f（x）有極值，∴f'（x）=3e（a+1）=0，∴a=﹣1，
∴f（x）=ex（﹣x2+x+1），f'（x）=﹣ex（x﹣1）（x+2），
由f'（x）＞0，得﹣2＜x＜1，∴f（x）在[﹣2，1]上單調遞增．
∵
，∴sinθ，cosθ∈[0，1]，
∴|f（cosθ）﹣f（sinθ）|≤f（1）﹣f（0）=e﹣1＜2．
知識點：導數及其應用
題型：解答題
