函數f(x)的定義域為R，且對任意的，有f(a+b)=f(a)+f(b)－1,且x>0時，f(x)>...

問題詳情：

函數f (x)的定義域為R，且對任意的，有f (a+b) = f (a)+f (b)－1, 且x >0時， f (x)> 1.

（1）判斷f (x)的單調*，並*結論；

（2）設F(x)=1- f (x)，試*：F(x)在R上是奇函數；

（3）已知對恆成立，求實數的取值範圍.

【回答】

解：（1）令任意的>，則>0

因為x >0時f (x)> 1

所以f)>1

因為f (a+b) = f (a)+f (b)－1

所以f) = f)

         = f)+ f) －1

         > f)

所以函數f (x)在R上單調遞增

(2) *：因為f (a+b) = f (a)+f (b)－1

   令a=b=0，則f(0+0)=f(0)+ f(0) －1

   所以f(0)=1

令a=x，b=－x

所以f(x－x) = f(x)+f(－x) －1

所以f(－x) = －f(x)+2

因為F(x) = 1－ f (x)

所以F(－x) = 1－ f (－x)

          = f (x)+1

          = f (x) －2

          = f (x) －1

          =－F(x)

所以函數F(x) = 1－ f (x)為奇函數

（3）因為函數f (x)在R上單調遞增，對恆成立

  所以－sinxa+1+對恆成立

即－a+ sinx +1= -+ sinx + 2對恆成立

所以－a

令sinx=t(－

－+t+1=－+

當時， =

所以－a，解得0a1

所以實數的取值範圍為[0,1]

知識點：不等式

題型：解答題