已知函數.(1)試判斷函數F(x)=(x2+1)f(x)–g(x)在[1,+∞)上的單調*;(2)當0<a<b...
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問題詳情:
已知函數.
(1)試判斷函數F(x)=(x2+1) f (x) – g(x)在[1,+∞)上的單調*;
(2)當0<a<b時,求*:函數f (x) 定義在區間[a,b]上的值域的長度大於(閉區間[m,n]的長度定義為n –m).
(3)方程f(x)=是否存在實數根?説明理由。
【回答】
解(1)∵F(x)=(x2+1)lnx –2x+2. ∴F ′(x)= 2xlnx+.
∴當x≥1時,F′(x)≥0且僅當x = 1時F′(x)= 0 ∴F(x)在(1,+∞)上單調遞增 ……4分
(2)∵0<a<b,f (x)在[a,b]上的值域為[lna,lnb]
∴要*值域的長度大於, 即*lnb – lna> 只要*ln
∵0<a<b,∴令 則只要*lnx> (x>1) 即*(x2+1)lnx –(2x –2)>0 (※)
由(1)可知F(x)在(1,+∞)上單調遞增 ∴F(x)>F(1)= 0 所以(※)式成立.
∴f (x)在[a, b]上的值域的長度大於.……9分
(3)∵f (x) = xlnx= 令h (x) = xlnx(x>0).則h ′(x)=lnx+1
當x∈(0,)時h ′(x)< 0, h (x)單調遞減;
當x∈()時,h′(x)>0,h (x)單調遞增.所以h (x)min= h ()= –.
令(x)=則 當x∈(0,1),,單調遞增; 當x∈(1,+∞)時,,單調遞減.∴max= 所以方程f(x)= 沒有實根…
知識點:導數及其應用
題型:解答題