閲讀下面的例題及點撥，並解決問題：例題：如圖①，在等邊△ABC中，M是BC邊上一點（不含端點B，C），N是△A...

問題詳情：

閲讀下面的例題及點撥，並解決問題：

例題：如圖①，在等邊△ABC中，M是BC邊上一點（不含端點B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分線上一點，且AM＝MN．求*：∠AMN＝60°．

點撥：如圖②，作∠CBE＝60°，BE與NC的延長線相交於點E，得等邊△BEC，連接EM．易*：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，則EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，進一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因為∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．

問題：如圖③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1邊上一點（不含端點B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分線上一點，且A1M1＝M1N1．求*：∠A1M1N1＝90°．

【回答】

【分析】延長A1B1至E，使EB1＝A1B1，連接EM1C、EC1，則EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的*質得出∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，*出∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，得出E、CN1，三點共線，由SAS*△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1＝EM1，∠1＝∠2，得出EM1＝M1N1，由等腰三角形的*質得出∠3＝∠4，*出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90°，即可得出結論．

【解答】解：延長A1B1至E，使EB1＝A1B1，連接EM1C、EC1，如圖所示：

則EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，

∴△EB1C1是等腰直角三角形，

∴∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，

∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分線上一點，

∴∠M1C1N1＝90°+45°＝135°，

∴∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，

∴E、CN1，三點共線，

在△A1B1M1和△EB1M1中，，

∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），

∴A1M1＝EM1，∠1＝∠2，

∵A1M1＝M1N1，

∴EM1＝M1N1，

∴∠3＝∠4，

∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，

∴∠1＝∠2＝∠5，

∵∠1+∠6＝90°，

∴∠5+∠6＝90°，

∴∠A1M1N1＝180°﹣90°＝90°．

知識點：各地中考

題型：綜合題