如圖，在等腰直角三角形中，．點是的中點，以為邊作正方形，連接．將正方形繞點順時針旋轉，旋轉角為．（1）如圖，在...
問題詳情：
如圖
，在等腰直角三角形
中，
．點
是
的中點，以
為邊作正方形
，連接
．將正方形
繞點
順時針旋轉，旋轉角為
．
（1）如圖
，在旋轉過程中，
①判斷
與
是否全等，並説明理由；
②當
時，
與
交於點
，求
的長．
（2）如圖
，延長
交直線
於點
．
①求*：
；
②在旋轉過程中，線段
的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請説明理由．
【回答】
（1）①全等，*見解析；②
；（2）①*見解析；②
．
【解析】
（1）①由等腰直角三角形*質和正方形*質根據全等三角形判定定理（SAS）即可*；②過A點作AM⊥GD，垂足為M，交FE與N，利用等腰三角形三線合一*質構造直角三角形，由勾股定理求出AM的長，進而得出
，再由
求出結果；
（2）①根據全等三角形*質可得
，再在
和
中由三角形內角和定理得出
，從而*結論；②根據∠APC=90°得出PC最大值是∠GAD最大時，即GD⊥AG時，進而可知CEF三點共線，F與P重合，求出此時CE長，繼而可得CP最大值．
【詳解】
解：（1）①全等，理由如下：
在等腰直角三角形
中，AD=CD，
，
在正方形
中，GD=ED，
，
又∵
，
，
∴
在
和
中，
，
∴
（SAS）；
②如解圖2，過A點作AM⊥GD，垂足為M，交FE與N，
∵點
是
的中點，
∴在正方形
中，DE=GD=GF=EF=2，
由①得
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∵AM⊥GD，
∴
，
又∵
，
∴四邊形GMNF是矩形，
∴
，
在
中，
，
∴
∵
，
∴
∴
，
∴
．
（2）①由①得
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，即：
；
②∵
，
∴
，
∴當
最大時，PC最大，
∵∠DAC=45°，是定值，
∴
最大時，
最大，PC最大，
∵AD=4，GD=2，
∴當GD⊥AG，
最大，如解圖3，
此時
，
又∵
，
，
∴F點與P點重合，
∴CEFP四點共線，
∴CP=CE+EF=AG+EF=
，
∴線段
得最大值為：
．
【點睛】
本題考查了三角形的綜合；涉及了全等三角形的判定與*質，正方形的*質，勾股定理，解直角三角形等知識，能夠準確畫出旋轉後滿足條件的兩個圖形，構造直角三角形求解是關鍵．
知識點：解直角三角形與其應用
題型：綜合題
