如圖，正三稜柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側稜長是，D是AC的中點。（1）求*：B1C∥平面A1BD；...
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問題詳情：
如圖，正三稜柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側稜長是
，D是AC的中點。
（1）求*：B1C∥平面A1BD；
（2）求二面角A1-BD-A的大小；
（3）在線段AA1上是否存在一點E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的長；若不存在，説明理由。
【回答】
（1）連結AB1交A1B於M，連結DM，
因為三稜柱ABC-A1B1C1是正三稜柱，
所以四邊形AA1B1B是矩形，
所以M為AB1的中點。
因為D是AC的中點，
所以MD是三角形AB1C的中位線，
所以MD∥B1C。
因為MD
平面A1BD，B1C
平面A1BD，
所以B1C∥平面A1BD。
（2）作CO⊥AB於O，所以CO⊥平面ABB1A1，
所以在正三稜柱ABC-A1B1C1中如圖建立空間直角座標系O-xyz。
因為AB=2，AA1=
，D是AC的中點。
所以A（1，0，0），B（-l，0，0），C（0，0，
），A1（1，
，0），
所以D（
，0，
），
=（
，0，
），
=（2，
，0）。
設n=（x，y，z）是平面A1BD的法向量，
所以
即
令x=-
，則y=2，z=3，
所以n=（-
，2，3）是平面A1BD的一個法向量。
由題意可知
=（0，
，0）是平面ABD的一個法向量，
所以cos<n，
>=
=
。
由題知二面角A1-BD-A為鋭角，所以它的大小為
。
（3）設E（1，x，0），則
=（1，x-
，-
），
=（-1，0，-
），
設平面B1C1E的法向量m=（x1，y1，z1），
所以
即
令z1=-
，則x1=3，y1=
，
m=（3，
，-
），
又m·n=0，即-3
+
-3
=0，解得x=
，
所以存在點E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD且AE=
。
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
