已知雙曲線的焦距為4，以原點為圓心，實半軸長為半徑的圓和直線相切.(Ⅰ)求雙曲線的方程；（Ⅱ）已知點為雙曲線的...
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問題詳情：
已知雙曲線
的焦距為4，以原點為圓心，實半軸長為半徑的圓和直線
相切.
(Ⅰ) 求雙曲線
的方程；
（Ⅱ）已知點
為雙曲線
的左焦點，試問在
軸上是否存在一定點
，過點
任意作一條直線交雙曲線
於
兩點，使
為定值？若存在，求出此定值和所有的定點
的座標；若不存在，請説明理由．
【回答】
解：(Ⅰ)
所以雙曲線
的方程為
； ……………4分
（Ⅱ）解法一：當直線為
時，
……………………5分
當直線不是
時，可設
代入
整理得
……………………7分
由
得
設方程
的兩個根為
滿足
………9分
若且唯若
時，
為定值，
解得
，
不合題意，捨去，
而且
滿足
；
綜上得：過定點
任意作一條直線交雙曲線
於
兩點，
使
為定值. ………12分
解法二： 前同解法一，得
…………………9分
由
得
，
解得
，下同解法一. …………………………………………………12分
解法三： 當直線不垂直
軸時，設
代入
整理得
…………7分
由
得
設方程
的兩個根為
滿足
……9分
若且唯若
時，
為定值，
解得
，
不合題意，捨去，而且
滿足
； …10分
當直線
軸時，
代入
得
………11分
綜上得：（結論同解法一） ………………………………………12分
（注：第（II）題有一般*結論）
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
