已知雙曲線，點、分別為雙曲線的左、右焦點，動點在軸上方.（1）若點的座標為是雙曲線的一條漸近線上的點，求以、為...
來源：國語幫 1.11W
問題詳情：
已知雙曲線
，點
、
分別為雙曲線
的左、右焦點，動點
在
軸上方.
（1）若點
的座標為
是雙曲線的一條漸近線上的點，求以
、
為焦點且經過點
的橢圓的方程；
（2）若∠
，求△
的外接圓的方程；
（3）若在給定直線
上任取一點
，從點
向(2)中圓引一條切線，切點為
. 問是否存在一個定點
，恆有
？請説明理由.
【回答】
解：（1）雙曲線
的左、右焦點
、
的座標分別為
和
，
∵雙曲線的漸進線方程為：
，
∴點
的座標為
是漸進線
上的點，即點
的座標為
。
∵
∴橢圓的長軸長
∵半焦距
，∴橢圓的方程
……………………..5分
（2）∵
，∴
，即
又圓心在線段
的垂直平分線上，故可設圓心
由
。∴△
的外接圓的方程為
……………..9分
（3）假設存在這樣的定點
設點P的座標為
∵恆有
，∴
即
對
恆成立。
從而
，消去
，得
∵方程
的判別式
∴①當
時，方程
無實數解，∴不存在這樣的定點
；
②當
時，方程
有實數解，此時
，即直線
與圓相離或相切，故此時存在這樣的定點
知識點：圓錐曲線與方程
題型：綜合題
