已知點為雙曲線：的左、右焦點，過作垂直於軸的直線，在軸上方交雙曲線於點，且，圓的方程是．（1）求雙曲線的方程；...

問題詳情：

已知點為雙曲線：的左、右焦點，過作垂直於軸的直線，在軸上方交雙曲線於點，且，圓的方程是．

（1）求雙曲線的方程；

（2）過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為，求的值；

（3）過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線於兩點，中點為，求*:．

【回答】

解（1）設、的座標分別為、

因為點在雙曲線上，所以，即，所以 

在中，，，所以       

由雙曲線的定義可知：

故雙曲線的方程為：  ……………（4分）

（2）由條件可知：兩條漸近線分別為，       

設雙曲線上的點，設的傾斜角為，則

則點到兩條漸近線的距離分別為， ……（6分）

因為在雙曲線上，所以

，從而…（8分）所以……………（10分）

（3）由題意，即*：．

設，切線的方程為：，且     

①當時，將切線的方程代入雙曲線中，化簡得：

所以：

又   

所以    

②當時，易知上述結論也成立． 所以 

綜上，，所以．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：綜合題