定義:只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形,連接它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑.(1)如圖1,損...
問題詳情:
定義:只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形,連接它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑.
(1)如圖1,損矩形ABCD,∠ABC=∠ADC=90°,則該損矩形的直徑是線段 .
(2)在線段AC上確定一點P,使損矩形的四個頂點都在以P為圓心的同一圓上(即損矩形的四個頂點在同一個圓上),請作出這個圓,並説明你的理由.友情提醒:“尺規作圖”不要求寫作法,但要保留作圖痕跡.
(3)如圖2,△ABC中,∠ABC=90°,以AC為一邊向形外作菱形ACEF,D為菱形ACEF的中心,連接BD,當BD平分∠ABC時,判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形?請説明理由.若此時AB=3,BD=,求BC的長.
【回答】
【解答】解:(1)只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形,連接它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑.因此AC是該損矩形的直徑;
(2)作圖如圖:
∵點P為AC中點,
∴PA=PC=AC.
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴BP=DP=AC,
∴PA=PB=PC=PD,
∴點A、B、C、D在以P為圓心, AC為半徑的同一個圓上;
(3)∵菱形ACEF,
∴∠ADC=90°,AE=2AD,CF=2CD,
∴四邊形ABCD為損矩形,
∴由(2)可知,點A、B、C、D在同一個圓上.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=45°,
∴,
∴AD=CD,
∴四邊形ACEF為正方形.
∵BD平分∠ABC,BD=,
∴點D到AB、BC的距離h為4,
∴S△ABD=AB×h=2AB=6,
S△ABC=AB×BC=BC,
S△BDC=BC×h=2BC,S△ACD=S正方形ACEF=AC2=(BC2+9),
∵S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABD+S△BCD
∴BC+(BC2+9)=6+2BC
∴BC=5或BC=﹣3(捨去),
∴BC=5.
知識點:圓的有關*質
題型:解答題