【問題情境】如圖1,四邊形ABCD是正方形,M是BC邊上的一點,E是CD邊的中點,AE平分∠DAM.【探究展示...
問題詳情:
【問題情境】如圖1,四邊形ABCD是正方形,M是BC邊上的一點,E是CD邊的中點,AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)*:AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,請給出*;若不成立,請説明理由.
【拓展延伸】
(3)若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形,其他條件不變,如圖2,探究展示(1)、(2)中的結論是否成立?請分別作出判斷,不需要*.
【回答】
(1)*見解析;
成立;*見解析;
(3)①結論AM=AD+MC仍然成立.
②結論AM=DE+BM不成立.
【解析】
試題解析:(1)延長AE、BC交於點N,如圖1(1),
∴△ADE≌△NCE(AAS).
∴AD=NC.
∴MA=MN=NC+MC=AD+MC.
(2)AM=DE+BM成立.
過點A作AF⊥AE,交CB的延長線於點F,如圖1(2)所示.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.
∴AM=FM.
∴AM=FB+BM=DE+BM.
(3)①結論AM=AD+MC仍然成立.
延長AE、BC交於點P,如圖2(1),
②結論AM=DE+BM不成立.
假設AM=DE+BM成立.
過點A作AQ⊥AE,交CB的延長線於點Q,如圖2(2)所示.
∵∠QAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠QAB
=∠QAM.
∴∠Q=∠QAM.
∴AM=QM.
∴AM=QB+BM.
∵AM=DE+BM,
∴QB=DE.
在△ABQ和△ADE中,
,
∴△ABQ≌△ADE(AAS).
∴AB=AD.
與條件“AB≠AD“矛盾,故假設不成立.
∴AM=DE+BM不成立.
考點:1、角平分線的定義;2、平行線的*質;3、全等三角形的判定與*質;4、矩形及正方形的*質.
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題