如圖，AB⊥BC，*線CM⊥BC，且BC=5，AB=1，點P是線段BC （不與點B、C重合）上的動點，過點P作...

問題詳情：

如圖，AB⊥BC，*線CM⊥BC，且BC=5，AB=1，點P是線段BC （不與點B、C重合）上的動點，過點P作DP⊥AP交*線CM於點D，連結AD． （1）如圖1，若BP=4，求CD的長． （2）如圖2，若DP平分∠ADC，試猜測PB和PC的數量關係，並説明理由． （3）若△PDC是等腰三角形，作點B關於AP的對稱點B′，連結B′D，則B′D=　　　　　　．（請直接寫出*）

【回答】

1）∵AB⊥BC∴∠ABP=90°，∴AP2=AB2+BP2，∴AP＝∴AP+AB+BP=+4

∴△APB的周長為+4.

（2）PB=PC，理由如下：延長線段AP、DC交於點E

∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠EDP．

∵DP⊥AP，∴∠DPA=∠DPE=Rt∠．

在△DPA和△DPE中，∠ADP＝∠EDP,DP＝DP,∠DPA＝∠DPE∴△DPA≌△DPE（ASA），∴PA=PE．      

∵AB⊥BP，CM⊥CP，∴∠ABP=∠ECP=Rt∠．

在△APB和△EPC中，∠ABP＝∠ECP,∠APB＝∠EPC,PA＝PE ∴△APB≌△EPC（AAS），∴PB=PC；    

（3）∵△PDC是等腰三角形，∠C=90°，

∴PC=CD，∠DPC=∠PDC=45°．

∵DP⊥AP，∴∠APD=90°，

∵∠APB+∠DPC=90°．∴∠APB=45°°

∵AB⊥BC，∴∠B=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，

∴∠BAP=45°，∴∠BAP=∠BPA，∴AB=PB=1．∴PC=3

∵點B與點B′關於AP 對稱，∴△ABP≌AB′P，∴BP=PB′=1．AB=AB′．

∵∠B=90°，∴四邊形ABPB′是正方形，∴∠BPB′=90°，∴∠B′PC=90°，

∵B′E⊥CD，∴∠B′EC=90°．∴四邊形B′PCE是矩形，

∴PB′=CE=1，B′E=PC=3∴DE=2，

在Rt△B′DE中，由勾股定理，得B′D=

知識點：勾股定理

題型：解答題