已知圓F1：（x+1）2+y2=r2與圓F2：（x﹣1）2+y2=（4﹣r）2（0＜r＜4）的公共點的軌跡為曲...
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問題詳情：
已知圓F1：（x+1）2+y2=r2與圓F2：（x﹣1）2+y2=（4﹣r）2（0＜r＜4）的公共點的軌跡為曲線E，且曲線E與y軸的正半軸相交於點M．若曲線E上相異兩點A、B滿足直線MA，MB的斜率之積為
．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）*直線AB恆過定點，並求定點的座標；
（Ⅲ）求△ABM的面積的最大值．
【回答】
【考點】J3：軌跡方程．
【分析】（Ⅰ）確定|QF1|+|QF2|=4＞|F1F2|，可得曲線E是長軸長2a=4，焦距2c=2的橢圓，且b2=a2﹣c2=3，即可求E的方程；
（Ⅱ）分類討論，設直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合直線MA，MB的斜率之積為
，即可*直線AB恆過定點，並求定點的座標；
（Ⅲ）求出△ABM的面積，利用基本不等式求出最大值．
【解答】解：（Ⅰ）設⊙F1，⊙F2的公共點為Q，由已知得，|F1F2|=2，|QF1|=r，|QF2|=4﹣r，
故|QF1|+|QF2|=4＞|F1F2|，
因此曲線E是長軸長2a=4，焦距2c=2的橢圓，且b2=a2﹣c2=3，
所以曲線E的方程為
（Ⅱ）由曲線E的方程得，上頂點
，由題意知，x1≠0，x2≠0．
若直線AB的斜率不存在，則直線AB的方程為
，
故y1=﹣y2，
，
因此，
與已知不符，因此直線AB的斜率存在
設直線AB：y=kx+m，代入橢圓E的方程
（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0①
因為直線AB與曲線E有公共點A，B，所以方程①有兩個非零不等實根x1，x2
所以
，
又
，
由
得，
，
即
，
所以
，
化簡得
，
故m=
．
結合
，
即直線AB恆過定點N（0，2
．
（Ⅲ）由
又
=
=
=
=
若且唯若4k2﹣9=12，即
時，△ABM的面積最大，最大值為
知識點：圓與方程
題型：解答題
