已知雙曲線Γ1：與圓Γ2：x2+y2=4+b2（b＞0）交於點A（xA，yA）（第一象限），曲線Γ為Γ1、Γ2...
問題詳情：
已知雙曲線Γ1：
與圓Γ2：x2+y2=4+b2（b＞0）交於點A（xA，yA）（第一象限），曲線Γ為Γ1、Γ2上取滿足x＞|xA|的部分．
（1）若xA=
，求b的值；
（2）當b=
，Γ2與x軸交點記作點F1、F2，P是曲線Γ上一點，且在第一象限，且|PF1|=8，求∠F1PF2；
（3）過點D（0，
）斜率為-
的直線l與曲線Γ只有兩個交點，記為M、N，用b表示
，並求
的取值範圍．
【回答】
（1）2 （2）arccos
（3）（6+2
，+∞）
【解析】解：（1）由xA=
，點A為曲線Γ1與曲線Γ2的交點，聯立
，解得yA=
，b=2；
（2）由題意可得F1，F2為曲線Γ1的兩個焦點，
由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a，又|PF1|=8，2a=4，
所以|PF2|=8-4=4，因為b=
，則c=
=3，
所以|F1F2|=6，
在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2=
=
由0＜∠F1PF2＜π，可得∠F1PF2=arccos
；
（3）設直線l：
，可得原點O到直線l的距離d=
,所以直線l是圓的切線，設切點為M，
所以kOM=
，並設OM：y=
x與圓x2+y2=4+b2聯立，可得x2+
=4+b2，
可得x=b，y=2，即M（b，2），
注意直線l與雙曲線的斜率為負的漸近線平行，
所以只有當yA＞2時，直線l才能與曲線Γ有兩個交點，
由
，
所以有4＜
，解得b2＞2+2
或b2＜2-2
（捨去），
因為
為
在
上的投影可得，
=4+b2，
所以
=4+b2＞6+2
，
則
∈（6+2
，+∞）．
【考點】平面向量數量積的*質及其運算；直線與雙曲線的綜合．
【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、*質與方程；數學運算．
【分析】（1）聯立曲線Γ1與曲線Γ2的方程，以及xA=
，解方程可得b；
（2）由雙曲線的定義和三角形的餘弦定理，計算可得所求角；
（3）設直線l：
，求得O到直線l的距離，判斷直線l與圓的關係：相切，可設切點為M，考慮雙曲線的漸近線方程，只有當yA＞2時，直線l才能與曲線Γ有兩個交點，解不等式可得b的範圍，由向量投影的定義求得
，進而得到所求範圍．
【點評】本題考查雙曲線與圓的定義和方程、*質，考查直線和圓的方程、雙曲線的方程的聯立，以及向量的數量積的幾何意義，考查方程思想和化簡運算能力，屬於中檔題．
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
