已知點P（2，0）及圓C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）設過P直線l1與圓C交於M、N兩點，當|MN|...

問題詳情：

已知點P（2，0）及圓C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．

（1）設過P直線l1與圓C交於M、N兩點，當|MN|=4時，求以MN為直徑的圓Q的方程；

（2）設直線ax﹣y+1=0與圓C交於A，B兩點，是否存在實數a，使得過點P（2，0）的直線l2垂直平分弦AB？若存在，求出實數a的值；若不存在，請説明理由．

【回答】

【解答】解：（1）由於圓C：x2+y2﹣6x+4y+4=0的圓心C（3，﹣2），半徑為3，

|CP|=，而弦心距d=，

所以d=|CP|=，所以P為MN的中點，

所以所求圓的圓心座標為（2，0），半徑為|MN|=2，

故以MN為直徑的圓Q的方程為（x﹣2）2+y2=4；

（2）把直線ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圓C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．

由於直線ax﹣y+1=0交圓C於A，B兩點，

故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．

則實數a的取值範圍是（﹣∞，0）．

設符合條件的實數a存在，

由於l2垂直平分弦AB，故圓心C（3，﹣2）必在l2上．

所以l2的斜率kPC=﹣2，

∴kAB=a=，

由於，

故不存在實數a，使得過點P（2，0）的直線l2垂直平分弦AB．

知識點：圓與方程

題型：解答題