如圖,在邊長為6的等邊△ABC中,D為AC上一點,AD=2,P為BD上一點,連接CP,以CP為邊,在PC的右側...
來源:國語幫 1.39W
問題詳情:
如圖,在邊長為 6 的等邊△ABC 中,D 為 AC 上一點,AD=2,P 為 BD 上一點,連接 CP,以 CP 為 邊,在 PC 的右側作等邊△CPQ,連接 AQ 交 BD 延長線於 E,當△CPQ 面積最小時,QE=____________.
【回答】
【分析】
如圖,過點D作DF⊥BC於F,由“SAS”可*△ACQ≌△BCP,可得AQ=BP,∠CAQ=∠CBP,由直角三角形的*質和勾股定理可求BD的長,由鋭角三角函數可求BP的長,由相似三角形的*質可求AE的長,即可求解.
【詳解】
如圖,過點D作DF⊥BC於F,
∵△ABC,△PQC是等邊三角形,
∴BC=AC,PC=CQ,∠BCA=∠PCQ=60°,
∴∠BCP=∠ACQ,且AC=BC,CQ=PC,
∴△ACQ≌△BCP(SAS)
∴AQ=BP,∠CAQ=∠CBP,
∵AC=6,AD=2,
∴CD=4,
∵∠ACB=60°,DF⊥BC,
∴∠CDF=30°,
∴CF=CD=2,DF=CF÷tan30°=CF=2,
∴BF=4,
∴BD===2,
∵△CPQ是等邊三角形,
∴S△CPQ=CP2,
∴當CP⊥BD時,△CPQ面積最小,
∴cos∠CBD=,
∴,
∴BP=,
∴AQ=BP=,
∵∠CAQ=∠CBP,∠ADE=∠BDC,
∴△ADE∽△BDC,
∴,
∴,
∴AE=,
∴QE=AQ−AE=.
故*為;.
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定和*質,等邊三角形的*質,鋭角三角函數,相似三角形的判定和*質,直角三角形的*質,勾股定理等知識,求出BP的長是本題的關鍵.
知識點:相似三角形
題型:填空題