已知函數是定義在R上的奇函數,其中g(x)為指數函數,且y=g(x)的圖象過定點(2,9).(1)求函數f(x...
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問題詳情:
已知函數是定義在R上的奇函數,其中g(x)為指數函數,且y=g(x)的圖象過定點(2,9).
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)若關於x的方程,f(x)=a有解,求實數a的取值範圍;
(3)若對任意的t∈[0,5],不等式f(t2+2kt)+f(-2t2-4)>0恆成立,求實數k的取值範圍.
【回答】
解:(1)設g(x)=ax(a>0,且a≠1)),則a2=9,
所以a=-3 (捨去)或a=3,
所以g(x)=3x,f(x)=.
又f(x)為奇函數,且定義域為R,
所以f(0)=0,即=0,所以m=1,
所以f(x)=.
(2)
(3)設x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=-=.
因為x1<x2,所以3x2-3x1>0,
所以>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函數f(x)在R上單調遞減.
要使對任意的t∈[0,5],
f(t2+2kt)+f(-2t2-4)>0恆成立,
即對任意的t∈[0,5],
f(t2+2kt)>-f(-2t2-4)恆成立.
因為f(x)為奇函數,
所以f(t2+2kt)>f(2t2+4)恆成立.
又因為函數f(x)在R上單調遞減,
所以對任意的t∈[0,5],t2+2kt<2t2+4恆成立,
即對任意的t∈[0,5],t2-2kt+4>0恆成立.
令h(t)=t2-2kt+4,t∈[0,5],
時,
‚
所以,.
ƒ,,無解.
綜上,k<2.
知識點:*與函數的概念
題型:解答題