已知函數f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函數.(1)求k的值;(2)若函數y=f(x)的圖象...

問題詳情：

已知函數f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函數.

(1)求k的值;

(2)若函數y=f(x)的圖象與直線y=x+b沒有交點,求b的取值範圍;

(3)設h(x)=log9(a·3x-a),若函數f(x)與h(x)的圖象有且只有一個公共點,求a的取值範圍.

【回答】

解:(1)因為y=f(x)為偶函數,所以f(-x)=f(x),即對於任意x恆成立.

於是2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9-log9(9x+1)=-x恆成立,而x不恆為零,

所以k=-.

(2)由題意知方程log9(9x+1)-x=x+b即方程log9(9x+1)-x=b無解.

令g(x)=log9(9x+1)-x,則函數y=g(x)的圖象與直線y=b無交點.

因為g(x)=log9=log9(1+),

由1+>1,

則g(x)=log9(1+)>0,

所以b的取值範圍是(-∞,0].

(3)由題意知方程3x+=a·3x-a有且只有一個實數根.

令3x=t>0,則關於t的方程(a-1)t2-at-1=0(記為(*))有且只有一個正根.

若a=1,則t=-,不合題意,捨去.

若a≠1,則方程(*)的兩根異號或有兩相等正根.

由Δ=0⇒a=或-3.

但a=⇒t=-2,不合題意,捨去;而a=-3⇒t=.

若方程(*)的兩根異號⇔(a-1)·(-1)<0⇔a>1.

綜上所述,實數a的取值範圍是{-3}∪(1,+∞).

知識點：基本初等函數I

題型：解答題