我國古代數學典籍《九章算術》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿牆問題：有厚牆尺，兩隻老鼠從牆的兩邊相對分別打洞穿牆...
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問題詳情：
我國古代數學典籍《九章算術》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿牆問題：有厚牆
尺，兩隻老鼠從牆的兩邊相對分別打洞穿牆大老鼠第一天進一尺，以後每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以後每天減半．問兩天後，兩鼠間距_______尺，兩鼠相遇時，大鼠共穿了______尺牆．
【回答】
【分析】
設大、小老鼠進牆尺數分別為等比數列
、
，公比分別為
、
，根據題意得出兩個等比數列的首項和公比，可計算出兩天後兩鼠之間的間距，根據兩鼠掘牆速度比可計算出當兩鼠相遇時，大鼠掘牆的尺寸.
【詳解】
設大、小老鼠進牆尺數分別為等比數列
、
，公比分別為
、
，
則
，
，
，
兩天後兩鼠間距為
．
由條件知大老鼠前三天分別挖
、
、
尺，小老鼠前三天分別挖
、
、
尺，
當兩鼠相遇時，必在第三天．而這天兩鼠掘牆速度比為
，
又第三天只需穿牆
尺，則大老鼠需穿牆
尺，
此時，大老鼠共穿
尺．
故*為：
；
.
【點睛】
本題考查數學文化及等比數列的通項公式與求和，將實際問題轉化為數列問題是解答的關鍵，考查計算能力，屬於中等題.
知識點：空間幾何體
題型：填空題
