對於定義域為D的函數y=f(x),如果存在區間[m,n]⊆D,同時滿足:①f(x)在[m,n]上是單調函數;②...
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問題詳情:
對於定義域為D的函數y=f(x),如果存在區間[m,n]⊆D,同時滿足:
①f(x)在[m,n]上是單調函數;
②當定義域是[m,n]時,f(x)的值域也是[m,n].
則稱[m,n]是該函數的“等域區間”.
(1)求*:函數不存在“等域區間”;
(2)已知函數(a∈R,a≠0)有“等域區間”[m,n],求實數a的取值範圍.
【回答】
(1)*:設[m,n]是已知函數定義域的子集.
∵x≠0,∴[m,n]⊆(﹣∞,0),或[m,n]⊆(0,+∞),
故函數在[m,n]上單調遞增.
若[m,n]是已知函數的“等域區間”,則
故m、n是方程的同號的相異實數根.
∵x2﹣3x+5=0無實數根,
∴函數不存在“等域區間”.(6分)
(2)設[m,n]是已知函數定義域的子集,
∵x≠0,∴[m,n]⊆(﹣∞,0)或[m,n]⊆(0,+∞),
故函數在[m,n]上單調遞增.
若[m,n]是已知函數的“等域區間”,則
故m、n是方程,即a2x2﹣(2a+2)x+1=0的同號的相異實數根.
∵,∴m,n同號,故只需△=(﹣(2a+2))2﹣4a2=8a+4>0,
解得,
∴實數a的取值範圍為
知識點:*與函數的概念
題型:解答題