如圖，在正方形ABCD中，E為直線AB上的動點（不與A，B重合），作*線DE並繞點D逆時針旋轉45°，交直線B...
問題詳情：
如圖，在正方形ABCD中，E為直線AB上的動點（不與A，B重合），作*線DE並繞點D逆時針旋轉45°，交直線BC邊於點F，連結EF．
探究：當點E在邊AB上，求*：EF=AE+CF．
應用：（1）當點E在邊AB上，且AD=2時，則△BEF的周長是 ．
（2）當點E不在邊AB上時，EF，AE，CF三者的數量關係是 ．
【回答】
【考點】四邊形綜合題．
【分析】探究：作輔助線，構建全等三角形，*△DAG≌△DCF（SAS），得∠1=∠3，DG=DF，再*△GDE≌△FDE（SAS），根據EG的長可得結論；
應用：
（1）利用探究的結論計算三角形周長為4；
（2）分兩種情況：①點E在BA的延長線上時，如圖2，EF=CF﹣AE，②當點E在AB的延長線上時，如圖3，
EF=AE﹣CF，兩種情況都是作輔助線，構建全等三角形，*兩三角形全等得線段相等，根據線段的和與差得出結論．
【解答】探究：*：如圖，延長BA到G，使AG=CF，連接DG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠DAG=∠DCF=90°，
∴△DAG≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠3，DG=DF，
∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，
∴∠EDG=∠1+∠2=∠3+∠2=45°=∠EDF，
∵DE=DE，
∴△GDE≌△FDE（SAS），
∴EF=EG=AE+AG=AE+CF；
應用：
解：（1）△BEF的周長=BE+BF+EF，
由探究得：EF=AE+CF，
∴△BEF的周長=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4，
故*為：4；
（2）當點E不在邊AB上時，分兩種情況：
①點E在BA的延長線上時，如圖2，
EF=CF﹣AE，理由是：
在CB上取CG=AE，連接DG，
∵∠DAE=∠DCG=90°，AD=DC，
∴△DAE≌△DCG（SAS）
∴DE=DG，∠EDA=∠GDC
∵∠ADC=90°，
∴∠EDG=90°
∴∠EDF+∠FDG=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDG=90°﹣45°=45°，
∴∠EDF=∠FDG=45°，
在△EDF和△GDF中，
∵
，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=CF﹣CG=CF﹣AE；
②當點E在AB的延長線上時，如圖3，
EF=AE﹣CF，理由是：
把△DAE繞點D逆時針旋轉90°至△DCG，可使AD與DC重合，連接DG，
由旋轉得：DE=DG，∠EDG=90°，AE=CG，
∵∠EDF=45°，
∴∠GDF=90°﹣45°=45°，
∴∠EDF=∠GDF，
∵DF=DF，
∴△EDF≌△GDF，
∴EF=GF，
∴EF=CG﹣CF=AE﹣CF；
綜上所述，當點E不在邊AB上時，EF，AE，CF三者的數量關係是：EF=CF﹣AE或EF=AE﹣CF；
故*為：EF=CF﹣AE或EF=AE﹣CF．
知識點：特殊的平行四邊形
題型：綜合題
