已知正方體ABCD-A1B1C1D1的稜長為a，點E，F，G分別為稜AB，AA1，C1D1的中點．下列結論中，...

問題詳情：

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的稜長為a，點E，F，G分別為稜AB，AA1，C1D1的中點．下列結論中，正確結論的序號是______．

①過E，F，G三點作正方體的截面，所得截面為正六邊形；

②B1D1∥平面EFG；

③BD1⊥平面ACB1；

④異面直線EF與BD1所成角的正切值為；

⑤四面體ACB1D1的體積等於a3

【回答】

①③④

【解析】

【分析】

根據公理3，作截面可知①正確；根據直線與平面的位置關係可知②不正確；根據線面垂直的判定定理可知③正確；根據異面直線所成的角的定義求得異面直線EF與BD1的夾角的正切值為，可知④正確；用正方體體積減去四個正三稜錐的體積可知⑤不正確．

【詳解】解：延長EF分別與B1A1，B1B的延長線交於N，Q，連接GN交A1D1於H，

設HG與B1C1的延長線交於P，連接PQ交CC1於I，交BC於M，

連FH，HG，GI，IM，ME，則截面六邊形EFHGIM為正六邊形，故①正確；

B1D1與HG相交，故B1D1與平面 EFG相交，所以②不正確；

∵BD1⊥AC，BD1⊥B1C，且AC與B1C相交，所以BD1⊥平面ACB1，故③正確；

取的中點，連接，則，

所以就是異面直線EF與BD1的夾角，

設正方體的邊長為，可得：,,,

所以是直接三角形.可得：.

可得異面直線EF與BD1的夾角的正切值為，故④正確；

四面體ACB1D1的體積等於正方體的體積減去四個正三稜錐的體積，

即為，故⑤不正確．

故*為：①③④

【點睛】本題主要考查了命題的真假判斷，考查空間思維能力及作圖能力、線面位置關係，還考查了求異面直線所成的角，還考查了空間幾何體的體積計算，屬於難題．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：填空題