（2019·*蘇中考模擬）如圖，在平面直角座標系中，二次函數交軸於點、，交軸於點，在軸上有一點，連接. （1）...

問題詳情：

（2019·*蘇中考模擬）如圖，在平面直角座標系中，二次函數交軸於點、，交軸於點，在軸上有一點，連接.

（1）求二次函數的表達式；

（2）若點為拋物線在軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值；

（3）拋物線對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點的座標，若不存在請説明理由.

【回答】

（1）二次函數的解析式為；（2）當時，的面積取得最大值；（3）點的座標為，，.

【解析】

（1）∵二次函數y=ax2+bx+c經過點A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），

∴，

解得：，

所以二次函數的解析式為：y=；

（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=，

過點D作DN⊥x軸，交AE於點F，交x軸於點G，過點E作EH⊥DF，垂足為H，如圖，

    設D（m，），則點F（m，），

∴DF=﹣（）=，

∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH

    =×DF×AG+×DF×EH

    =×4×DF

    =2×（）

    =，

∴當m=時，△ADE的面積取得最大值為．

    （3）y=的對稱軸為x=﹣1，設P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論：

當PA=PE時，=，解得：n=1，此時P（﹣1，1）；

    當PA=AE時，=，解得：n=，此時點P座標為（﹣1，）；

    當PE=AE時，=，解得：n=﹣2，此時點P座標為：（﹣1，﹣2）．

    綜上所述：P點的座標為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．

點睛：本題主要考查二次函數的綜合問題，會求拋物線解析式，會運用二次函數分析三角形面積的最大值，會分類討論解決等腰三角形的頂點的存在問題時解決此題的關鍵．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題