已知：如圖，在▱ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分線DF、AE分別與線段BC相交於點F、E，DF與AE相交於...

問題詳情：

已知：如圖，在▱ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分線DF、AE分別與線段BC相交於點F、E，DF與AE相交於點G．

（1）求*：AE⊥DF；

（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的長．

【回答】

【考點】平行四邊形的*質；垂線；平行線的*質；三角形內角和定理；角平分線的*質；勾股定理．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）根據平行四邊形的*質和平行線的*質推出∠ADC+∠DAB=180°，根據角平分線得到∠ADF+∠DAE=（∠ADC+∠DAB）=90°，即可求出結論；

（2）過點D作DH∥AE，交BC的延長線於點H，得到平行四邊形AEHD，求出DH=AE=4，EH=AD=10，根據平行四邊形的*質和平行線的*質推出DC=FC，AB=EB，求出BF、FE、FH的長，根據勾股定理即可求出*．

【解答】（1）*：在▱ABCD中AB∥CD，

∴∠ADC+∠DAB=180°．

∵DF、AE分別是∠ADC、∠DAB的平分線，

∴∠ADF=∠CDF=∠ADC，∠DAE=∠BAE=∠DAB，

∴∠ADF+∠DAE=（∠ADC+∠DAB）=90°，

∴∠AGD=90°，

∴AE⊥DF；

（2）解：過點D作DH∥AE，交BC的延長線於點H，

則四邊形AEHD是平行四邊形，且FD⊥DH．

∴DH=AE=4，EH=AD=10．

在▱ABCD中AD∥BC，

∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠BEA．

∴∠CDF=∠CFD，∠BAE=∠BEA．

∴DC=FC，AB=EB．

在▱ABCD中，AD=BC=10，AB=DC=6，

∴CF=BE=6，BF=BC﹣CF=10﹣6=4．

∴FE=BE﹣BF=6﹣4=2，

∴FH=FE+EH=12，

在Rt△FDH中，DF===8．

答：DF的長是8．

【點評】本題主要考查對平行四邊形的*質，勾股定理，三角形的內角和定理，平行線的*質，角平分線的定義，垂線的定義等知識點的理解和掌握，熟練地運用這些*質進行*是解此題的關鍵，題型較好，綜合*強．

知識點：平行四邊形

題型：解答題