已知λ,μ為常數,且為正整數,λ≠1,無窮數列{an}的各項均為正整數,其前n項和為Sn,對任意的正整數n,S...
問題詳情:
已知λ,μ為常數,且為正整數,λ≠1,無窮數列{an}的各項均為正整數,其前n項和為Sn,對任意的正整數n,Sn=λan﹣μ.記數列{an}中任意兩不同項的和構成的*為A.
(1)*:無窮數列{an}為等比數列,並求λ的值;
(2)若2015∈A,求μ的值;
(3)對任意的n∈N*,記*Bn={x|3μ•2n﹣1<x<3μ•2n,x∈A}中元素的個數為bn,求數列{bn}的通項公式.
【回答】
(1)見解析;
(2)31或403;
(3)bn=n(n∈N*)
【詳解】
(1)*:∵Sn=λan﹣μ.當n≥2時,Sn﹣1=λan﹣1﹣μ,
∴an=λan﹣λan﹣1,λ≠1,∴,
∴數列{an}為等比數列,
∵各項均為正整數,則公比=為正整數,λ為正整數,
∴λ=2.
(2)解:由(1)可得:Sn=2an﹣μ,當n=1時,a1=μ,則an=μ•2n﹣1,
∴A={μ(2i﹣1+2j﹣1)|1≤i<j,i,j∈N*},
∵2015∈A,∴2015=μ(2i﹣1+2j﹣1)=μ•2i﹣1(1+2j﹣i)=5×13×31,
∵j﹣i>0,則1+2j﹣i必為不小於3的奇數,
∵2i﹣1為偶數時,上式不成立,因此必有2i﹣1=1,∴i=1,
∴μ(1+2j﹣1)=5×13×31,
只有j=3,μ=403或j=7,μ=31時,上式才成立,
∴μ=31或403.
(3)解:當n≥1時,*Bn={x|3μ•2n﹣1<x<3μ•2n,x∈A},
即3μ•2n﹣1<μ(2i﹣1+2j﹣1)<3μ•2n,1≤i<j,i,j∈N*.Bn中元素個數,
等價於滿足3×2n<2i+2j<3×2n+1的不同解(i,j),
若j>n+2,則2i+2j≥2i+2n+3=2i+4×2n+1>3×2n+1,矛盾.
若j<n+2,則2i+2j≤2i+2n+1≤2n+2n+1=3×2n,矛盾.
∴j=n+2,又∵(21+2n+2)﹣3×2n=2+4×2n﹣3×2n=2+2n>0,
∴3×2n<21+2n+2<22+2n+2<…<2n+1+2n+2=3×2n+1,
即i=1,2,…,n時,共有n個不同的解(i,j),即共有n個不同的x∈Bn,
∴bn=n(n∈N*).
知識點:數列
題型:解答題