已知函數y=f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).(1)當a>0時,若f(x)滿足:y極小值=1,y極大...
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問題詳情:
已知函數y=f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).
(1)當a>0時,若f(x)滿足:y極小值=1,y極大值=,試求f(x)的解析式;
(2)若x∈[0,1]時,y=f(x)圖象上的任意一點處的切線斜率k滿足:|k|≤1,求a的取值範圍.
【回答】
【詳解】(1)(x)=-3x2+2ax=0得x=0或x=.
a>0時,x變化時f'(x),f(x)變化如下表:
所以f(0)=b=1,,解得a=1,b=1.故f(x)=-x3+x2+1;
(2)由題設x∈[0,1]時,恆有|k|=|f′(x)|≤1,
即-1≤-3x2+2ax≤1在x∈[0,1]上恆成立.
當x=0時,a∈R;
當x∈(0,1]時,由-3x2+2ax≥-1恆成立,即2ax≥3x2-1,
y=在(0,1]上為增函數
所以a≥1
另一方面,由-3x2+2ax≤1恆成立,所以(若且唯若x=時,取最值).
綜上所述:.
【點睛】本題考查函數極值,導數幾何意義,不等式恆成立問題,準確計算是關鍵,是中檔題
知識點:導數及其應用
題型:解答題