如圖1，四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E為CD上一點，F為BE的中點，...

來源：國語幫 1.29W

問題詳情：

如圖1，四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E為CD上一點，F為BE的中點，且DE=1，EC=2，現將梯形沿BE摺疊（如圖2），使平面BCE⊥ABED．（1）求*：平面ACE⊥平面BCE；（2）能否在邊AB上找到一點P（端點除外）使平面ACE與平面PCF所成角的餘弦值為？若存在，試確定點P的位置，若不存在，請説明理由．

．

【回答】

（1）*：在直角梯形ABCD中，作DM⊥BC於M，連接AE，則CM=2-1=1，CD=DE+CE=1+2=3，則DM=AB=2，cosC=，則 BE==，sin∠CDM=，則AE==，（2分） ∴AE2+BE2=AB2，故AE⊥BE，且摺疊後AE與BE位置關係不變…（4分）又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE， ∴AE⊥面BCE， ∵AE⊂平面ACE， ∴平面ACE⊥平面BCE…（6分）（2）解：∵在△BCE中，BC=CE=2，F為BE的中點 ∴CF⊥BE 又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE， ∴CF⊥面ABED，故可以F為座標原點建立如圖所示的空間直角座標系則A（，-，0），C（0，0，），E（0，-，0），易求得面ACE的法向量為=（0，-，1）…（8分）假設在AB上存在一點P使平面ACE與平面PCF，所成角的餘弦值為，且，（λ∈R）， ∵B（0，，0）， ∴=（-，，0），故=（-λ，λ，0），又=（，-，-）， ∴=（（1-λ），（2λ-1），-），又 =（0，0，），設面PCF的法向量為=（x，y，z）， ∴ 令x=2λ-1得=（2λ-1，（λ-1），0）…（10分） ∴|cos＜＞|==，解得…（12分）

因此存在點P且P為線段AB中點時使得平面ACE與平面PCF所成角的餘弦值為．

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題