給出定義：若x∈（m﹣，m+]（其中m為整數），則m叫做實數x的“親密的整數”，記作{x}=m，在此基礎上給出...

問題詳情：

給出定義：若x∈（m﹣，m+]（其中m為整數），則m叫做實數x的“親密的整數”，記作{x}=m，在此基礎上給出下列關於函數f（x）=|x﹣{x}|的四個命題：

①函數y=f（x）在x∈（0，1）上是增函數；

②函數y=f（x）的圖象關於直線x=（k∈z）對稱；

③函數y=f（x）是周期函數，最小正週期為1；

④當x∈（0，2]時，函數g（x）=f（x）﹣lnx有兩個零點．

其中正確命題的序號是（　　）

A．②③④   B．②③ C．①② D．②④

【回答】

A【考點】2K：命題的真假判斷與應用．

【分析】①x∈（0，1）時，可得f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣|，從而可得函數的單調*；

②利用新定義，可得{k﹣x}=k﹣m，從而可得f（k﹣x）=|k﹣x﹣{k﹣x}|=|k﹣x﹣（k﹣m）|=|x﹣{x}|=f（x）；

③驗*{x+1}={x}+1=m+1，可得f（x+1）=|（x+1）﹣{x+1}|=|x﹣{x}|=f（x）；

④由上，在同一座標系中畫出函數圖象，即可得到當x∈（0，2]時，函數g（x）=f（x）﹣lnx有兩個零點．

【解答】解：①x∈（0，1）時，∴f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣|，函數在（﹣∞，）上是減函數，在（，+∞）上是增函數，故①不正確；

②∵x∈（m﹣，m+]，∴k﹣m﹣＜k﹣x≤k﹣m+（m∈Z）

∴{k﹣x}=k﹣m

∴f（k﹣x）=|k﹣x﹣{k﹣x}|=|k﹣x﹣（k﹣m）|=|x﹣{x}|=f（x）

∴函數y=f（x）的圖象關於直線x=（k∈z）對稱，故②正確；

③∵x∈（m﹣，m+]，∴﹣＜（x+1）﹣（m+1）≤，

∴{x+1}={x}+1=m+1，∴f（x+1）=|（x+1）﹣{x+1}|=|x﹣{x}|=f（x），

∴函數y=f（x）是周期函數，最小正週期為1；

④由題意，當x∈（0，2]時，函數g（x）=f（x）﹣lnx有兩個零點．

∴正確命題的序號是②③④

知識點：*與函數的概念

題型：選擇題