已知數列{an}滿足(a1+2a2+…+2n-1an)=2n+1(n∈N*).(1)求a1,a2和{an}的通...

問題詳情：

已知數列{an}滿足(a1+2a2+…+2n-1an)=2n+1(n∈N*).

(1)求a1,a2和{an}的通項公式;

(2)記數列{an-kn}的前n項和為Sn,若Sn≤S4對任意的正整數n恆成立,求實數k的取值範圍.

【回答】

 解(1)由題意得a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,

所以a1=1×22=4,a1+2a2=2×23,得a2=6.

由a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,

所以a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n(n≥2),

相減得2n-1an=n·2n+1-(n-1)·2n,

得an=2n+2,當n=1也滿足上式.

所以{an}的通項公式為an=2n+2.

(2)數列{an-kn}的通項公式為an-kn=2n+2-kn=(2-k)n+2,

所以數列{an-kn}是以4-k為首項,公差為2-k的等差數列.

若Sn≤S4對任意的正整數n恆成立,等價於當n=4時,Sn取得最大值,

所以

解得k

知識點：數列

題型：解答題